中学数学 / 中2 / 一次関数
一次関数｜標準問題
12大問。変化の割合・グラフ・式・交点・変域・面積を順に確かめます。
問題 1｜表から割合と式
x＝−2,1,5のとき、y＝9,3,−5となる一次関数がある。変化の割合を2区間で確かめ、式とx＝8のときのyを求めなさい。
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xの間隔が3と4で違うことに注意。
解答・解説
(3−9)/(1＋2)＝−2、(−5−3)/(5−1)＝−2。y＝−2x＋bに(1,3)を入れb＝5。y＝−2x＋5。x＝8では−11。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜水量の減少
水槽の水量は排水開始2分後に46L、7分後に31Lだった。一定の割合で排水されるとき、毎分の排水量、開始時の水量、空になる時刻を求めなさい。
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変化の割合は負、排水量は正の量。
解答・解説
(31−46)/(7−2)＝−3L/分なので毎分3L排水。y＝−3x＋52。開始時52L、空になるのは52/3分後（17分20秒後）。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜分数の傾き
y＝(2/3)x−2のグラフをかくための格子点を3個求め、x軸との交点も示しなさい。
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右へ3進むと上へ2。
解答・解説
(0,−2),(3,0),(6,2)など。x軸との交点は(3,0)。分数の傾きでも3進んで2上がれば整数座標を取れる。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜交点と線分の長さ
直線y＝−2x＋6とx軸,y軸の交点をA,Bとする。A,Bの座標と、原点Oを含む△OABの面積を求めなさい。
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軸上の条件を代入して底辺と高さにする。
解答・解説
A(3,0)、B(0,6)。面積3×6/2＝9。座標の1目盛りを1cmとすれば9cm²。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜負の座標を含む
点(−2,7),(4,−5)を通る直線の式と、y＝1となるxを求めなさい。
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座標の差の符号をそろえる。
解答・解説
傾き(−5−7)/(4＋2)＝−2。7＝4＋bよりb＝3。y＝−2x＋3。1＝−2x＋3からx＝1。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜平行な直線
y＝−(1/2)x＋4に平行で、点(6,−1)を通る直線の式を求めなさい。2直線が異なることも確かめなさい。
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平行なら傾きが等しい。
解答・解説
y＝−x/2＋bへ代入し−1＝−3＋b、b＝2。y＝−x/2＋2。切片が4と2で違うため別の直線。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 7｜分数を含む交点
y＝x/2＋1とy＝−2x＋6の交点と、前者が後者より上にあるxの範囲を求めなさい。
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交点の前後で差の符号を見る。
解答・解説
x/2＋1＝−2x＋6からx＝2、y＝2。差(5/2)x−5＞0よりx＞2で前者が上。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 8｜同じ料金になる時
Aプランは基本料500円に1回80円、Bプランは基本料1100円に1回50円を加える。月x回使うとき同額になる回数と金額、25回なら安い方を求めなさい。
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各料金をxの式にする。
解答・解説
500＋80x＝1100＋50xよりx＝20、2100円。25回ではA2500円、B2350円でBが150円安い。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 9｜変域から端を逆算
y＝−2x＋5についてa≦x≦4のとき−3≦y≦9となる。aを求めなさい。
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負の傾きだからxの左端でyが最大。
解答・解説
x＝aでy＝9。9＝−2a＋5よりa＝−2。右端x＝4でy＝−3も確認できる。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 10｜現実の範囲
初め36Lの水を毎分4Lずつ排水する。開始x分後の水量yの式と、水が残っている間から空になる瞬間までを含めたx,yの変域を求めなさい。
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負の水量は意味を持たない。
解答・解説
y＝−4x＋36。0≦x≦9、0≦y≦36。9分以後までこの式を延長すると負になり不適切。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 11｜交点と面積
直線y＝x＋2とy＝−x＋6の交点Pを求める。両直線のy軸との交点をA,Bとするとき、△ABPの面積を求めなさい。1目盛り1cmとする。
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縦のABを底辺にして横の距離を高さにする。
解答・解説
P(2,4)、A(0,2)、B(0,6)。AB＝4、高さ2。面積4cm²。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 12｜同じ高さの三角形
A(0,0),B(6,0),C(2,4)で、Pは辺AB上にありAP＝2cm。△ACPと△BCPの面積と比を求めなさい。1目盛り1cm。
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共通の高さは4cm。
解答・解説
△ACP＝2×4/2＝4cm²、△BCP＝4×4/2＝8cm²。面積比1：2。
この問題で必要な知識
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