中学数学 / 中2 / 一次関数
一次関数｜入試問題
12大問。変化の割合・グラフ・式・交点・変域・面積を順に確かめます。
問題 1｜水槽の流入と流出
100L入る水槽に初め20Lの水がある。給水だけで毎分6Lを入れ、5分後から毎分2Lの排水も同時に始める。(1)開始からx分後の水量の式を2区間に分ける。(2)満水になるのは開始から何分後か。
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5分後の量を後半の式の基準にする。
解答・解説
(1)0≦x≦5ではy＝6x＋20。5分後50L。以後y＝50＋4(x−5)＝4x＋30。
(2)4x＋30＝100よりx＝17.5分。後半の適用範囲は5≦x≦17.5。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 2｜追いつきと途中停止
Aは8時に出発して分速60mで歩く。Bは8時5分に同じ地点から分速100mで追い、8時10分から2分停止した後、同じ速さで進む。BがAに初めて追いつく時刻を求めなさい。
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A出発からx分とし、停止前・中・後で成立を調べる。
解答・解説
停止前は60x＝100(x−5)よりx＝12.5で5〜10分に入らない。停止中Bは500mだがAは600m以上で追いつかない。再開後Bは100(x−7)m。60x＝100x−700よりx＝17.5。8時17分30秒。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 3｜2つの切片と面積
傾き−2の直線が正のx軸・正のy軸と交わり、両軸で囲む三角形の面積は16である。直線の式を求めなさい。
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x切片をt＞0とするとy切片は2t。
解答・解説
面積t×2t/2＝t²＝16。t＞0よりt＝4、y切片8。y＝−2x＋8。中2では正の数で2乗して16になる数を考えればよい。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 4｜切片を動かす
傾き2の直線y＝2x＋bが点(−1,1)と点(3,9)の両方より上を通るためのbの範囲を求めなさい。「上」とは同じx座標で直線のyが点のyより大きいこととする。
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それぞれのxを代入して不等式を作る。
解答・解説
−2＋b＞1、6＋b＞9はいずれもb＞3。したがってb＞3。b＝3なら両点を通り、上ではない。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 5｜文字を含む点
A(−1,2)、B(3,10)を通る直線上にP(t,2t＋4)は常にあるか。Q(t,t＋7)が同じ直線上にあるtも求めなさい。
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まずABの式を決めてから代入する。
解答・解説
ABは傾き2、切片4でy＝2x＋4。Pは任意のtで成立。Qはt＋7＝2t＋4よりt＝3の場合だけ。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 6｜2条件と単位換算
一定量ずつ給水する水槽で、開始1分30秒後は19L、4分後は34Lだった。開始からx秒後の水量y Lの式、開始時の量、52Lになる時刻を求めなさい。
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両時刻を秒にそろえる。
解答・解説
時刻90秒と240秒の差150秒で15L増え、傾き1/10L/秒。y＝x/10＋10。初め10L、52＝x/10＋10よりx＝420秒（7分）。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 7｜折れ曲がる料金
Aは利用量xに対し料金100x円。Bはx≦10で800円、x≧10で800＋60(x−10)円。x≧0として、同額になる利用量をすべて求め、Bが安い範囲を答えなさい。
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Bの2区間で別々に交点を調べる。
解答・解説
x≦10では100x＝800よりx＝8で有効。x≧10では100x＝60x＋200よりx＝5で範囲外。同額は8のみ。Bが安いのはx＞8。整数単位なら9以上。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 8｜休憩を含む往復
Aは原点から分速80mで出発。Bは同時に1000m先から原点へ分速120mで進み、出発3分後から2分休み、その後再開する。2人が出会うのは出発何分後か。
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Bの位置は3分後640m。停止中も比較する。
解答・解説
最初の区間は80x＝1000−120xよりx＝5で0〜3分に入らない。休憩中は80x＝640よりx＝8で3〜5分外。再開後B＝640−120(x−5)＝1240−120x。80x＝1240−120xよりx＝6.2分（6分12秒）。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 9｜常に区間内にある条件
y＝2x＋bで0≦x≦3のすべてのxに対して−1≦y≦8となるようなbの範囲を求めなさい。
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最小値b、最大値6＋bを制限する。
解答・解説
b≧−1かつ6＋b≦8より−1≦b≦2。「yの変域がちょうど−1から8」とは違い、その中に収まればよい。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 10｜折れ線の変域
点(0,2),(3,8),(7,0)をこの順に直線で結ぶグラフがある。1≦x≦5のときのyの変域を求めなさい。両端だけ調べる方法ではなぜ不十分か。
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x＝3の折れ曲がり点も調べる。
解答・解説
前半y＝2x＋2、後半y＝−2x＋14。x＝1,5ではどちらも4だが、x＝3で最大8。変域4≦y≦8。端の値だけでは内部の最大値を見落とす。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 11｜四角形の面積を分ける
A(0,0),B(6,0),C(6,4),D(0,8)の四角形ABCDで、辺AD上の点PからCへ引いた線分が面積を二等分する。Pの座標と直線CPの式を求めなさい。1目盛り1cm。
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△DPCが全体の半分になるようにする。
解答・解説
四角形の面積は(8＋4)×6/2＝36。△DPCはDPを底辺、高さ6として3DP＝18。DP＝6なのでP(0,2)。CPの傾き(4−2)/6＝1/3、y＝x/3＋2。
この問題で必要な知識
この内容の授業で確認する問題 12｜動点と面積の変化
長方形OABCの頂点をO(0,0),A(8,0),B(8,6),C(0,6)とする。PはOからAを経てBまで毎秒2cmで進む。出発x秒後の△OCPの面積yを区間ごとに表し、面積18cm²になる時刻を求めなさい。
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底辺OC＝6。高さはPのx座標。
解答・解説
OA上の0≦x≦4では高さ2xなのでy＝6x。AB上の4≦x≦7では高さ8でy＝24。18＝6xより3秒後だけ。後半は面積が増えない。
この問題で必要な知識
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基本・標準・発展・入試問題を組み合わせた、追加練習用の混合50問です。