考え方
乗法公式は根号を含む式にも使えます。面積から長さを求めるときは正の平方根を選びます。
(√a+√b)²=a+2√ab+b
根号も数なので、分配法則や乗法公式はそのまま使えます。式の値を求めるときは、先に式を整理してから代入すると計算が短くなることがあります。
解き方・考え方
1. 積の形か和の形かを判断
2. 乗法公式の対応を確認
3. 根号を整理して同類項をまとめる
4. 近似値や逆の計算で大きさを確認
例題と途中の考え方
【例】(√5+2)(√5-2) を計算する。
① A=√5、B=2 とみると(A+B)(A-B)=A²-B²。
② (√5)²-2²=5-4=1。
【比較】(√5+2)²なら5+4√5+4=9+4√5で、中央の項が残る。
【面積】面積75cm²の正方形の一辺は√75=5√3cm。長さなので正の値を選ぶ。
自分で確かめる
確認 1｜乗法公式と平方根
(2+√2)² を計算しなさい。
解答・解説
6+4√2
a²+2ab+b² より 4+4√2+2。
確認 2｜総合・数の理解
x=√3+√2、y=√3-√2 とする。xy と x²+y²、さらに x/y+y/x の値を求めなさい。
解答・解説
xy=1、x²+y²=10、x/y+y/x=10
xy=(√3+√2)(√3-√2)=1。x+y=2√3 より x²+y²=(x+y)²-2xy=12-2=10。通分すると (x²+y²)/(xy)=10。
確かめ方・間違えやすいところ
√(x²)は常にxとは限らず、xの絶対値です。x<0なら-xになります。平方根の正負と長さの条件を区別します。