中学数学 / 中3 / 平方根
平方根｜入試問題
6大問（小問付き）。中学の学習範囲を使う入試対策のオリジナル問題です。結論だけでなく、その根拠も説明しましょう。
問題 1｜整数になる差
√(n＋24)が整数で、√nも整数となる正の整数nをすべて求めなさい。
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平方の差24を因数分解する。
解答・解説
√(n＋24)＝a、√n＝bとすると(a−b)(a＋b)＝24。両因数が同じ偶奇でb＞0だから(2,12),(4,6)。a,b＝7,5または5,1。n＝25,1。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 2｜整数部分を使う式
√7の小数部分をaとするとき、a²＋4aの値を求めなさい。
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a＝√7−2。
解答・解説
(√7−2)²＋4(√7−2)＝7−4√7＋4＋4√7−8＝3。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 3｜大小を正確に比較
√5＋√2と√13の大小を小数に直さず比較しなさい。
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両辺正。平方後は√10と3を比べる。
解答・解説
(√5＋√2)²＝7＋2√10。√10＞3より7＋2√10＞13。したがって√5＋√2＞√13。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 4｜整数をはさむ
2√n＜9＜3√nを満たす正の整数nの個数を求めなさい。
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それぞれ2乗して範囲を重ねる。
解答・解説
4n＜81、81＜9nより9＜n＜81/4。n＝10〜20で11個。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 5｜和を整理する
1/(√2＋1)＋1/(√3＋√2)＋1/(2＋√3)を計算しなさい。
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各分母を有理化すると隣の項が消える。
解答・解説
(√2−1)＋(√3−√2)＋(2−√3)＝1。
この問題で必要な知識
関連する授業で確認する問題 6｜自然数の条件
1≦n≦100で√(6n)が整数になるnをすべて求めなさい。
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6n＝k²ならkは6の倍数。
解答・解説
k＝6mと置くとn＝6m²。6m²≦100からm＝1,2,3,4。n＝6,24,54,96。